قانون الفرق بين مكعبين
قانون الفرق بين مكعبين ونتعرف ايضا على تحليل الفرق بين مكعبين ومجموع المكعبين و تحليل الفرق بين مكعبين للصف الثالث متوسط و قانون مجموع مربعين والفرق بينهما كل ذلك في هذا المقال.
محتويات الموضوع
قانون الفرق بين مكعبين
قانون الفرق بين مكعبين هو حالة خاصة من حالات ضرب كثيرات الحدود، حيث يتمثل في صيغة تتكون من حدين مكعبين، يفصل بينهما علامة الطرح كما يلي: س3 – ص3 = (س – ص) (س2 + س ص + ص2) وهو من القوانين الشائعة التي تستخدم في حل كثير من المسائل الحسابية المختلفة. مثال إذا وجد خزانين من المياه على شكل مكعب، إذ أن طول ضلع الخزان الأول (الخزان الأكبر) س، وطول ضلع الخزان الثاني (الخزان الأصغر) ص، مع العلم أن الخزان الأول مملوء بالماء ويقوم بصب الماء في الخزان الثاني.
حتى يمتلئ الخزان الثاني تمامًا، وحتى يتم التعبير بصورة جبرية عن كمية المياه المتبقية في الخزان الكبير لا بد من إتباع عدد من الخطوات كما يلي:
- يتم تحديد حجم الماء الموجود في الخزان الأول، وبما أن الخزان مكعب الشكل
- إذًا حجم المكعب= طول الضلع تكعيب
- أي حجم الماء بالخزان الأول= س³.
- يتم تحديد حجم الماء الموجود بالخزان الثاني، وبما أن الخزان الثاني أيضًا مكعب،
- إذًا حجم الماء في الخزان الثاني= ص³.
- حساب كمية المياه الباقية في الخزان الأول بعد ملء الخزان الثاني، ويكون ذلك عن طريق القيام بطرح حجم المياه التي توجد في الخزان الثاني من كمية المياه التي توجد في الخزان الأول، وبهذا فإن كمية المياه المتبقية بالخزان= س³-ص³.
- هذا المقدار الجبري س³-ص³ هو الفرق بين مكعبين، أي يعني طرح حدين مكعبين من بعضهما البعض.
بالتالي تكون الصيغة العامة للفرق بين مكعبين هي: س³-ص³.
شاهد ايضا: معلومات عامة مفيدة للطلاب
تحليل الفرق بين مكعبين ومجموع المكعبين
لمعرفة ان هذا المقدار ستم تحليله مجموع مكعبين = ستجد حدين : الاول مكعب كامل والثاني مكعب كامل والاشارة في الوسط موجبة هنحلها كالاتي : ( الجذر التكعيبي للاول + الجذر التكعيبي للثاني ) ( مربع الجذر التكعيبي للاول – ( الجذر التكعيبي للاول × الجذر التكعيبي للثاني ) + مربع الجذر التكعيبي للثاني ).
- لمعرفة ان هذا المقدار ستم تحليله الفرق بين مكعبين = ستجد حدين : الاول مكعب كامل والثاني مكعب كامل والاشارة في الوسط سالبة هنحلها كالاتي : ( الجذر التكعيبي للاول – الجذر التكعيبي للثاني ) ( مربع الجذر التكعيبي للاول + ( الجذر التكعيبي للاول × الجذر التكعيبي للثاني ) + مربع الجذر التكعيبي للثاني ).
- لاحظ ان اشارة القوس الصغير تشبه اشارة المسألة ، ولكن اشارة القوس الكبير عكس اشارة المسألة .
- لاحظ ايضا ان الفرق بين مربعين لا يصح الا بالاشارة السالبة فقط ، لكن المكعبين يمكن تحليلهم سواء كان مجموع مكعبين – الاشراة في الوسط موجبة – او الفرق بين مكعبين – الاشارة في الوسط سالبة –
تحليل الفرق بين مكعبين للصف الثالث متوسط
يعني تحليل الفرق بين مكعبين كتابة المسألة الفرق بين مكعبين (س³- ص³) على شكل:
الفرق بين مكعبين=(الجذر التكعيبي للحَدِّ الأوّل -الجذر التكعيبي للحَدِّ الثاني)× (مربع الجذر التكعيبي للحَدِّ الأوّل +حاصل ضرب الجذر التكعيبي للحَدِّ الأوّل في الجذر التكعيبي للحد الثاني+ مربع الجذر التكعيبي للحد الثاني)، وبالرموز: (س³-ص³)=(س-ص)(س²+س ص+ص²)،.
ولتحليل الفرق بين مكعبي حدين إلى عوامله، يجب التحقق أوّلاً من أنّ المِقدار مَكتوب على صورة الصيغة العامة وهي: (س³- ص³)، ثمّ تحليله باتّباع الخطوات الآتية:
- التأكد من عدم وجود عامل مشترك بين الحدين، وفي حال وجوده يجب إخراجه أولاً.
- فَتْح قوسين، بحيث تكون العلاقة بينهما ضَرْب: ( )×( )، مع ضرورة كتابة العامل الذي تم إخراجه في الخطوة الأولى خارج القوسين، وضربه بهما.
- تُكتَب في القوس الأول إشارة طرح، وفي القوس الثاني إشارتا جمع: ( – )×( + + )
- حساب الجذر التكعببي للحَدُّ الأوّل وكتابته دون إشارة في القوس الأول قبل إشارة الطَّرْح، هكذا: (س- )×( + + )
- حساب الجذر التكعببي للحَدُّ الثاني وكتابته دون إشارة في القوس الأول بعد إشارة الطَّرْح: (س-ص)×( + + )
- وبهذا يكون الشكل النهائي للقوس الأول قد انتهى، أما القوس الثاني فيتم تطبيق الخطوات الآتية:
- يُربّع الجذر التكعيبي للحد الأول: (س)²، ويُكتَب في القوس الثاني قبل إشارة الجمع الأولى.
(س-ص)×( س² + + ) - يتم إيجاد حاصل ضرب الحد الأول في الحد الثاني: س×ص، ويُكتَب ناتج الضرب في القوس الثاني بين إشارتي الجمع: (س-ص)×( س² + (س×ص)+ )
- يربّع الجذر التكعبيبي الحد الثاني: (ص)²، ويُكتَب في القوس الثاني بعد إشارة الجمع الثانية: (س-ص)×( س² +(س×ص)+ص²).
- وبهذا يكون الشكل النهائي للقوسين هو: (س³- ص³)= (س-ص)×( س² +(س×ص)+ص²).
شاهد ايضا: من اسباب التجوية الميكانيكية
قانون مجموع مربعين والفرق بينهما
إذا أردت معرفة الفرق بين مربعين، أي مثلاً الفرق بين مساحة مربع طول ضلعه س، ومربع آخر طول ضلعه ص، فإن قانون حساب هذا الفرق هو : س² – ص²= ( س – ص ) ( س + ص ) .
- تحليل الفرق بين مربعين
يرمز القانون السابق لإحدى صيغ المعادلة التربيعية أو المعادلة ذات الدرجة الثانية، فهو يتشكل من حدين مربعين، وأحد هذين الحدين مطروح من الآخر، وهو يساوي الفرق بين الحدين مضروبًا في مجموعهما، ولكن يجب أن يتم مراعاة الترتيب في تلك الحدود، بمعنى أنه يجب أن يتم الحصول على حاصل ضرب ( الحد الأول – الحد الثاني ) في ( الحد الأول + الحد الثاني ) .
